Question

（1）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，三条边的长分别为a、b、c，且a=x²-1，b=x²+1，c=2x（x＞1，且x为整数），请你判断这个三角形的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先将已知等式利用配方法变形得到（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=0，再利用非负数的性质，分别求出a、b、c的值，然后利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）先分别计算a²+c²与b²，发现a²+c²=b²，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，
∴a²-6a+9+b²-8b+16+c²-10c+25=0，
即（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵3²+4²=5²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a=x²-1，b=x²+1，c=2x，
∴a²+c²=（x²-1）²+（2x）²=x⁴-2x²+1+4x²=x⁴+2x²+1，
b²=（x²+1）²=x⁴+2x²+1，
∴a²+c²=b²，
∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查了配方法的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解题的关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．