题目内容
【题目】已知关于x的一元二次方程mx2-(3m+2) x+2m+2=0(m>0).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值;
(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2),若y是关于m的函数,且y=7x1-mx2,求这个函数的表达式;并求当自变量m的取值范围满足什么条件时,y≤3m.
【答案】(1)证明见解析;(2)y=-2m+5;当m≥1时,y≤3m.
【解析】试题分析:(1)先计算判别式的值得到△=(m+2)2,由m>0,得到△>0,根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根,再利用求根公式得到x=,可得到方程有一个根为1,于是得到方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值.
(2)解方程得到x1=1,x2=2+,所以y=7-m(2+)=-2m+5,然后解不等式-2m+5≤3m.
试题解析:(1)证明:△=(3m+2)2-4m(2m+2)
=m2+4m+4
=(m+2)2,
∵m>0,
∴(m+2)2>0,即△>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
∵x=,
∴方程有一个根为1,
∴方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值.
(2)∵x=,
∴x1=1,x2=2+,
∴y=7x1-mx2
=7-m(2+)
=-2m+5,
当y≤3m,即-2m+5≤3m,
∴m≥1.
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