题目内容
【题目】（1）如图1，
是正方形
边
上的一点，连接
，
，将
绕点
逆时针旋转
，旋转后角的两边分别与射线
交于点
和点
．写出线段
，
和
之间的数量关系，并说明理由；
（2）当四边形为菱形，
，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转
，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①如图2，点在线段上时，请探究线段，和之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点
，若
，
，直接写出线段
的长度．
【答案】（1）
，理由见解析；（2）①
，证明见解析；②
．
【解析】
(1)利用正方形性质及旋转的性质证明△FDG≌△EDB即可；
(2)①过点
作
于点
，仿照(1)中的思路证明△FDG≌△EDB，得到△DBG为等腰三角形，进而得出∠DBG=30°，再利用直角三角形30°角时三边之比为
即可求解；
②过A点作AN⊥DB，过D点作DH⊥GB，利用△DCM∽△EBM，进而求出CM，在△DCH中利用∠DCH=60°求出CH，进而得到
即可求解．
解：(1) 
，
和
之间的数量关系为：．理由如下：
由题意知：
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
中，∵
，
∴
，
即.
故答案为：，和之间的数量关系为.
（2）①如图2，，理由如下：
过点作于点，如下图所示：
在菱形
中，
，
由旋转
得
，
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴，
∴
．
∵，由等腰三角形的“三线合一”知
∴
，
在
中，
，
∴
．
设
，则
，
，
∴
在中，
，
∴
，
∴
；
故答案为：，和之间的数量关系为.
②过A点作AN⊥DB，过D点作DH⊥GB，如下图所示：
∵CD∥BE，
∴△DCM∽△EBM
∴
，代入数据
，解得
在Rt△DHC中，由∠DCH=60°，CD=4,可知，HC=2
由∠DBA=30°，AB=4可知，BN=
，∴BD=
在Rt△DHB中，由∠HBD=30°，DB=可知，HB=6
又△DBF为等腰三角形，且DH⊥BG，∴FH=HB=6
∴
.
故答案为：．
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