题目内容

【题目】如图,抛物线轴于两点,其中点坐标为,与轴交于点.

1)求抛物线的函数表达式;

2)如图①,连接,点在抛物线上,且满足.求点的坐标;

3)如图②,点轴下方抛物线上任意一点,点是抛物线对称轴与轴的交点,直线分别交抛物线的对称轴于点.请问是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.

【答案】(1)23为定值

【解析】

1)把点坐标代入抛物线解析式即求得的值.

2)点可以在轴上方或下方,需分类讨论.①若点轴下方,延长,使构造等腰,作中点,即有,利用的三角函数值,求的长,进而求得的坐标,求得直线的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点坐标.②若点轴上方,根据对称性,一定经过点关于轴的对称点,求得直线的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点坐标.

3)设点横坐标为,用表示直线的解析式,把分别代入即求得点的纵坐标,再求的长,即得到为定值.

1)∵抛物线经过点.

,解得:.

∴抛物线的函数表达式为.

2)①若点轴下方,如图1

延长,使,过点轴,连接,作中点,连接并延长于点,过点于点.

∵当,解得:.

.

中,

中点,

,即

中,

.

中,.

,即

设直线解析式为

,解得:

∴直线.

,解得:(即点),

.

②若点轴上方,如图2

上截取,则关于轴对称,

设直线解析式为

,解得:

∴直线.

,解得:(即点),

.

综上所述,点的坐标为

3为定值.

∵抛物线的对称轴为:直线

设直线解析式为

,解得:

∴直线

时,

设直线解析式为

,解得:

∴直线

时,

,为定值.

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