题目内容
【题目】如图,抛物线交
轴于
、
两点,其中点
坐标为
,与
轴交于点
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接,点
在抛物线上,且满足
.求点
的坐标;
(3)如图②,点为
轴下方抛物线上任意一点,点
是抛物线对称轴与
轴的交点,直线
、
分别交抛物线的对称轴于点
、
.请问
是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)
或
(3)
为定值
【解析】
(1)把点、
坐标代入抛物线解析式即求得
、
的值.
(2)点可以在
轴上方或下方,需分类讨论.①若点
在
轴下方,延长
到
,使
构造等腰
,作
中点
,即有
,利用
的三角函数值,求
、
的长,进而求得
的坐标,求得直线
的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点
坐标.②若点
在
轴上方,根据对称性,
一定经过点
关于
轴的对称点
,求得直线
的解析式后与抛物线解析式联立,即求出点
坐标.
(3)设点横坐标为
,用
表示直线
、
的解析式,把
分别代入即求得点
、
的纵坐标,再求
、
的长,即得到
为定值.
(1)∵抛物线经过点
,
.
∴,解得:
.
∴抛物线的函数表达式为.
(2)①若点在
轴下方,如图1,
延长到
,使
,过点
作
轴,连接
,作
中点
,连接并延长
交
于点
,过点
作
于点
.
∵当,解得:
,
.
∴.
∵,
,
∴,
,
,
,
∴中,
,
,
∵,
为
中点,
∴,
,
∴,即
,
∵,
∴,
∴中,
,
,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴中,
,
,
.
∴,
,
∴,
,即
,
设直线解析式为
,
∴,解得:
,
∴直线:
.
∵,解得:
(即点
),
,
∴.
②若点在
轴上方,如图2,
在上截取
,则
与
关于
轴对称,
∴,
设直线解析式为
,
∴,解得:
,
∴直线:
.
∵,解得:
(即点
),
,
∴.
综上所述,点的坐标为
或
.
(3)为定值.
∵抛物线的对称轴为:直线
,
∴,
,
设,
设直线解析式为
,
∴,解得:
,
∴直线:
,
当时,
,
∴,
设直线解析式为
,
∴,解得:
,
∴直线:
,
当时,
,
∴,
∴,为定值.

【题目】甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路.在施工过程中,乙队曾因技术改进而停工一天,之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务.下表是根据每天工程进度绘制而成的.
施工时间/天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
累计完成施工量/米 | 35 | 70 | 105 | 140 | 160 | 215 | 270 | 325 | 380 |
下列说法错误的是( )
A. 甲队每天修路20米
B. 乙队第一天修路15米
C. 乙队技术改进后每天修路35米
D. 前七天甲,乙两队修路长度相等