题目内容
【题目】如图所示，平面直角坐标系中，抛物线
经过
、
、
．过点
作
轴交抛物线于点
，过点作
轴，垂足为点
．点
是四边形
的对角线的交点，点
在
轴负半轴上，且
．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形的形状；
（2）当点
、
从
、两点同时出发，均以每秒
个长度单位的速度沿
、
方向运动，点运动到
时、两点同时停止运动．设运动的时间为
秒，在运动过程中，以、、、四点为顶点的四边形的面积为
，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点
，使以
、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点的坐标；不存在，说明理由．
【答案】（1）
，四边形
为正方形；（2）当
时，
；当
时，
；（3）在抛物线上存在点
，
，
，
，使以
、
、
、
为顶点的四边形是梯形．
【解析】
（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三点，把三点坐标代入抛物线表达式中，联立方程解出a、b、c；
（2）过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t<2时，OP=6－t，OQ=2－t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2<t<6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积；
（3）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标．
解：（1）∵抛物线经过
、
、
，
∴
，
，
解得
，
，．
∴抛物线的解析式为．
四边形为正方形．
（2）连接
．
根据题意，可知
，
，
∴
，
∴
，
∵运动的时间为
，
∴
，
过
作
于，则
，
当时，
，
，
∴
，
∴．
当
时，
与
重合，点、、
、不能构成四边形，
当时，连接
，
则
且
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴四边形
的面积
，
综上所述，当时，；当时，．
（3）分三种情况：
①以
为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为
；
②以
为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为
；
③以
为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为
或
．
故在抛物线上存在点，，，，
使以、、、为顶点的四边形是梯形．
