题目内容
【题目】已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心、OB为半径作圆,且⊙O过A点.
(Ⅰ)如图①,若⊙O的半径为5,求线段OC的长;
(Ⅱ)如图②,过点A作AD∥BC交⊙O于点D,连接BD,求 的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵OA=OB,
∴∠BAO=∠B=30°,
∴∠AOC=30°+30°=60°,
∴∠OAC=90°,
∵OA=5,
∴OC=2AO=10.
(Ⅱ)连接OD,
∵∠AOC=60°,AD∥BC,
∴∠DAO=∠AOC=60°,
∵OD=OA,
∴∠ADO=60°,
∴∠DOB=∠ADO=60°,
∵OD=OB,
∴△DOB是等边三角形,
∴BD=OB=OA,
在Rt△OAC中,OC=2BD,由勾股定理得:AC= BD,
∴ =
.
【解析】(1)利用等腰三角形的性质和圆周角定理,证得∠OAC=90°,利用30度角的性质求出OC=2AO=10;(2)连接半径,构造出等边三角形△DOB,进而BD转化为OA,利用三角函数,求出BD:AC=1:.

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