Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．

（1）如图1，填空：∠A=_______．

（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．

①求证：△BNE是等腰三角形；

②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）36°；（2）①证明见解析；②AN+CE=CD，理由见解析．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠ABD=∠CBD=36°，根据垂直的定义得到∠BHN=∠EHB=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由①知，BN=BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．

解：（1）∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°，∠C=72°；
故答案为：36°；

（2）①∵BD=AD，

∴∠A=∠ABD

∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠BDC=2∠ABD

∵BD=BC，

∴∠BCD=2∠ABD

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=2∠ABD，

∴∠ABD=∠CBD

∵MH⊥BD于H，

∴NHBEHB

在△NBH与△EBH中

∴△NHB≌△EBH（ASA），

∴BN=BE，

∴△BNE为等腰三角形；

②AN+CE=CD

∵AB=AC

∴AN+BN=AD+DC

∵BN=BE，

∴AN+BE=AD+DC，

∴AN+BC+CE=AD+DC

∵BC=AD，

∴AN+CE=CD.