Question

（2013•梧州一模）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点E在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动，过E作EF∥BC交AC于F，再过F作FD∥AB交BC于D，设E移动的时间为x（秒），EF为 y．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当x=

15

8

，四边形BDFE是菱形．
（3）设四边形BDFE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；并求E在AB边上何处时，四边形BDFE的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）证△AEF∽△ABC，得出比例式，代入求出即可；
（2）根据菱形性质得出BE=EF，代入得出关于x的方程，求出x即可；
（3）求出∠BAC=90°，作EG⊥BD于G，证△ABC∽△GBE，得出

EG

AC

=

BE

BC

，求出EG=

8

5

x，根据平行四边形面积公式得出S=

8

5

x•（-

10

3

x+10），求出函数的最值即可．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AE

AB

=

EF

BC

，
∴

6-2x

6

=

y

10

，
∴y=-

10

3

x+10；

（2）∵四边形BEFD是菱形，
∴BE=EF，
即2x=-

10

3

x+10，
解得：x=

15

8

；

（3）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
作EG⊥BD于G，
∵在△ABC和△GBE中，∠ABC=∠GBE，∠BAC=∠BGE，
∴△ABC∽△GBE，
∴

EG

AC

=

BE

BC

，
∴

EG

8

=

2x

10

，
∴EG=

8

5

x，
∴S=

8

5

x•（-

10

3

x+10）
=-

16

3

（x-1.5）²+12，
∴当x=1.5时，S的最大值为12，此时2x=3，
当点E在AB的中点时，四边形BDEF的面积最大，最大面积为12．
故答案为：

15

8

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，平行四边形的性质，菱形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．