Question

【题目】如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线 经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D．

（1）求图中抛物线的解析式；

（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；

（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，线段PC有最大值是2；（3），，

【解析】

把x=0，y=0分别代入解析式可求点A，点B坐标，由待定系数法可求解析式；

设点C,可求PC,由二次函数的性质可求解；

设点P的坐标为(x,x+2)，则点C，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可出点P的坐标．

解：(1)可求得 A（0,2 ），B(4,0 )

∵抛物线经过点A和点B

∴把(0,2),(4,0)分别代入得：

解得：

∴抛物线的解析式为.

（2）设点P的坐标为(x,x+2)，则C（）

∵点P在线段AB上

∴

∴当时，线段PC有最大值是2

（3）设点P的坐标为(x,x+2)，

∵PC⊥x轴，

∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，

∴点C(x,)

①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOPC为平行四边形，

则OA=PC=2,即，

化简得：，

解得x1=x2=2把x=2代入

则点P的坐标为(2,1)

②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，

则OA=PC=2,即，

化简得：，

解得：

把，

则点P的坐标为;

③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，

则OA=PC=2,即，

化简得：，

解得：

把

则点P的坐标为

综上，使以O、A.P、C为顶点的四边形是平行四边形，

满足的点P的坐标为.