题目内容
如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，与x轴交于0、M两点，O
M=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．（1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
（2）当矩形ABCD的周长为最大值时，将矩形绕它的中心顺时针方向旋转90°，求点D的坐标；
（3）连接OP，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外）使△OPQ是等腰三角形？若存在，写出点Q到y轴的距离；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可．
（2）设C（x，0），则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法求出x的值，从而得到点A、B、C、D的坐标，再找出矩形ABCD的中心，根据旋转的性质即可确定点D的坐标；
（3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底．当OP是底时，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，先求出OP的中点E的坐标，设OQ与x轴相交于点E，根据相似三角形对应边成比例求出OE的长度，也就知道了点F的坐标，然后利用待定系数法求出OP的垂直平分线EF的解析式，与二次函数的解析式联立求解即可求出点Q的横坐标，从而点Q到y的距离可得．
（2）设C（x，0），则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法求出x的值，从而得到点A、B、C、D的坐标，再找出矩形ABCD的中心，根据旋转的性质即可确定点D的坐标；
（3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底．当OP是底时，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，先求出OP的中点E的坐标，设OQ与x轴相交于点E，根据相似三角形对应边成比例求出OE的长度，也就知道了点F的坐标，然后利用待定系数法求出OP的垂直平分线EF的解析式，与二次函数的解析式联立求解即可求出点Q的横坐标，从而点Q到y的距离可得．
解答：解：（1）根据题意，得P（2，4），M（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
过点M（4，0），
则4a+4=0，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）2+4=4x-x2；
（2）设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．
矩形ABCD的周长=2（BC+CD），
=2[（4-2x）+（4x-x2）]=2（-x2+2x+4）=-2（x-1）2+10，
当x=1时，矩形ABCD的周长的最大值=10，
此时，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
∴矩形的中心坐标为（2，1.5），
∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
∴点D的坐标为（3.5，2.5）；
（3）存在．
若OP当底，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，
如图，设OP的中点为E，OP的垂直平分线交x轴于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
∵P（2，4），
∴点E的坐标是（1，2），G点的坐标是G（1，0），
∴OE=
=
，OG=1，
∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
∴△OEG∽△OFE，
∴
=
，
即
=
，
解得OF=5，
∴点F的坐标为（5，0），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
∴y=-
x+
，
∴
，
解得x=
，
∴点Q到y轴的距离是
或
．
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
过点M（4，0），
则4a+4=0，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）2+4=4x-x2；
（2）设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．
矩形ABCD的周长=2（BC+CD），
=2[（4-2x）+（4x-x2）]=2（-x2+2x+4）=-2（x-1）2+10，
当x=1时，矩形ABCD的周长的最大值=10，
此时，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
∴矩形的中心坐标为（2，1.5），
∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
∴点D的坐标为（3.5，2.5）；
（3）存在．
若OP当底，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，
如图，设OP的中点为E，OP的垂直平分线交x轴于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
∵P（2，4），
∴点E的坐标是（1，2），G点的坐标是G（1，0），
∴OE=
| 22+12 |
| 5 |
∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
∴△OEG∽△OFE，
∴
| OF |
| OE |
| OE |
| OG |
即
| OF | ||
|
| ||
| 1 |
解得OF=5，
∴点F的坐标为（5，0），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则
|
解得
|
∴y=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴
|
解得x=
9±
| ||
| 4 |
∴点Q到y轴的距离是
9+
| ||
| 4 |
9-
| ||
| 4 |
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，是不可多得的好题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．