题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为 $数学公式$ ．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数．

（1）解：延长CO交AB于M，过C作CN⊥x轴于N，

∵C（-2，-2），
∴CN=ON=2，
∴∠C=∠NOC=45°，
∵y=-x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠MOA=∠NOC=45°，
∴∠OMA=180°-45°-45°=90°，
∴CO⊥AB．

（2）解：y=-x+2，令y=0，得A（2，0），

令x=0，得B（0，2），
①当OA=OP时，P在B点，此时△POA是等腰三角形；
②当AO=AP时，过P作PH⊥OA于H，设P的坐标是（x，-x+2），
∵在△APH中，根据勾股定理得：PA²=PH²+AH²，
∵PH=-x+2，AH=2-x，
∴PA²=（-x+2）²+（2-x）²，OA²=2²，
∴（x-2）²+（-x+2）²=2²
解得：x=2± $\text{[math]}$ ，
当x=2+ $\text{[math]}$ 时，-x+2=- $\text{[math]}$ ；
当x=2- $\text{[math]}$ 时，-x+2= $\text{[math]}$ ；
∴P（2+ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）或（2- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，
且P的横坐标是 $\text{[math]}$ ×2=1，
代入y=-x+2得：y=-1+2=1，
∴P（1，1）；
综合上述，P的坐标是（0，2）或（2+ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）或（2- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（1，1）．

（3）解：设PO切⊙C于D，连接CD，

则∠CDO=90°，CD= $\text{[math]}$ ，
OC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴sin∠DOC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠DOC=30°，
∴∠DON=∠AOP=45°-30°=15°，
同理求出是另一条切线时，∠AOP=45°+30°=75°，
答：∠POA的度数是15°或75°．
分析：（1）延长CO交AB于M，过C作CN⊥x轴于N，求出CN=ON，OB=OA，推出∠MOA=∠BAO=45°，求出∠OMA=90°即可；
（2）①当OA=OP时，P在B点；②当AO=AP时，设P的坐标是（x，-x+2），根据勾股定理得出方程（x-2）²+（-x+2）²=2²，求出x即可；③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，求出P的横坐标x，代入y=-x+2求出y即可；
（3）设PO切⊙C于D，连接CD，求出OC，根据锐角三角函数求出sin∠DOC，求出∠DOC即可．
点评：本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生观察图形的能力，用了分类讨论思想和方程思想．注意：一题多解啊．