Question

如图所示，⊙O的直径AB=2，AD，BC是它的两条切线，且CD与⊙O相切于点E，交AD，BC于点D，C，设AD=x，BC=y．
（1）求证：AD+BC=CD；
（2）求y关于x的函数关系，并画去它的图象；
（3）若x，y是方程2t²-5t+m=0的两根，求x，y的值；
（4）求四边形的ABCD的面积S，（用字母表示）并证明S≥2．

Answer 1

分析：（1）首先连接OE，由AD，BC是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，根据切线长定理，即可得AD=DE，EC=BC，又由CD=DE+CE，即可证得AD+BC=CD；
（2）过点D作DM⊥BC于M，由AD，BC是它的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，即可证得四边形ABMD是矩形，则可求得DM与CM的长，由勾股定理，即可得方程（x+y）²=4+（y-x）²，解此方程组即可求得y关于x的函数关系；
（3）由x，y是方程2t²-5t+m=0的两根，根据根与系数的关系求得m的值，然后解方程即可求得x，y的值；
（4）根据（3）可得四边形ABCD是梯形，根据梯形面积的求解方法，可得S=xy，又由y=

1

x

，根据几何不等式的性质，即可证得S≥2．

解答：（1）证明：连接OE，
∵AD，BC是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，EC=BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，
即：AD+BC=CD；

（2）解：过点D作DM⊥BC于M，
∵AD，BC是它的两条切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=∠BMD=90°
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=2，BM=AD=x，
∴CD=AD+BC=x+y，CM=BC-BM=y-x，
∵CD²=DM²+CM²，
∴（x+y）²=4+（y-x）²，
即：y=

1

x

，
∴y关于x的函数关系为：y=

1

x

，
它的图象为：

（3）∵x，y是方程2t²-5t+m=0的两根，由根与系数的关系得：
∴xy=

m

2

=1，
解得：m=2，
∴原方程为：2t²-5t+2=0
∴（2t-1）（t-2）=0，
解得：t=

1

2

或t=2，
∴x=

1

2

，y=2；

（4）∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DM=

1

2

（x+y）•2=x+y，
∵y=

1

x

，
∴S=x+y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
∴S≥2．

点评：此题考查了切线的性质，梯形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，反比例函数的性质以及几何不等式的应用．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．