Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作圆O，交AB边于点D，过点O作OE∥AB，交BC边于点E．
（1）试判断ED与圆O位置关系，并给出证明；
（2）如果圆O的半径为

3

2

，ED=2，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）ED与圆O相切，证明相切只要证明∠ODE=90°即可；
（2）根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得到△COE∽△CAB，根据对应边成比例可求得AB的长．

解答：解：（1）ED与圆O相切，证明如下：
连接OD，
∵OE∥AB，
∴∠COE=∠CAD、∠EOD=∠ODA，（2分）
∵∠OAD=∠ODA，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，

OD=OC ∠DOE=∠COE OE=OE

∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∴ED是圆O的切线．（6分）

（2）在Rt△ODE中，
∵OD=

3

2

，DE=2，
∴OE=

OD2+DE2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

．（9分）
∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴

OC

AC

=

OE

AB

，
∴AB=5．（12分）

点评：此题考查学生对相似三角形的判定及切线的判定的理解及运用能力．