Question

已知，如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，2为半径的圆与x轴相切于原点O，点P在x轴的负半轴上，PA切⊙C于点A，AB为⊙C的直径，PC交OA于点D．
（1）求证：PC⊥OA；
（2）若△APO为等边三角形，求直线AB的解析式；
（3）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其他条件不变，设点P的坐标为（x，0），四边形POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）当点P在x轴的负半轴上运动时，原题的其他条件不变，分析并判断是否存在这样的一点P，使S_{四边形POCA}=S_△AOB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵⊙C与x轴相切于原点O，点P在x轴上，
∴PO与⊙C相切于点O，
又∵PA切⊙C于点A，
∴PO=PA，PC平分∠APO，
∴PC⊥OA．

（2）∵△APO为等边三角形，
∴∠CPO=

1

2

∠APO=

1

2

×60°=30°，
又∵∠POC=90°，
∴PC=2OC=2×2=4；
在Rt△POC中由勾股定理可得PO=2

3

，
作AH⊥PO于H，在Rt△AHO中，OA=OP=2

3

，
∴OH=

1

2

PO=

3

，
∴AH=3，
∴A（-

3

，3），
又点C（0，2），
故利用待定系数法可求得直线AB的函数解析式为y=-

3

3

x+2．

（3）S_{四边形POCA}=2S_△POC=2×

1

2

×（-x）×2=-2x，
即S=-2x（x＜0）．

（4）存在这样的一点P，其坐标为（-2，0），
∵S_△AOB=2S_△AOC，S_{四边形POCA}=2S_△POC，
∴S_△AOC=S_△POC，
∴PA∥OC；
又∵∠POC=90°，
∴∠APO=90°，
∵∠PAC=∠POC=90°，
∴四边形POCA是矩形，
∴OP=AC=2，
∴P（-2，0）．