题目内容
如图（1），点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
（1）求证：∠BQM=60°；
（2）如图（2），若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？（不需证明）
（3）如图（3），若将题中的条件“点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？若成立，请说明理由，若不成立，请写出∠BQM的度数．
（1）求证：∠BQM=60°；
（2）如图（2），若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？（不需证明）
（3）如图（3），若将题中的条件“点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？若成立，请说明理由，若不成立，请写出∠BQM的度数．
分析：（1）由△ABC为等边三角形，易得AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，又由BM=CN，利用SAS即可证得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的对应角相等，即可求得∠BQM=60°；
（2）证明方法同（1），首先证得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的对应角相等，即可求得∠BQM=60°；
（3）首先利用SAS证得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的对应角相等，即可求得∠BQM=∠ABC=90°．
（2）证明方法同（1），首先证得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的对应角相等，即可求得∠BQM=60°；
（3）首先利用SAS证得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的对应角相等，即可求得∠BQM=∠ABC=90°．
解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，…（1分）
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN（SAS），…（3分）
∴∠BAM=∠CBN，…（4分）
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；…（5分）
（2）解：∠BQM=60°还成立．…（7分）理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BMA=∠CNB，
∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°；
（3）解：∠BQM=60°不成立，∠BQM=90°．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°．
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，…（1分）
在△ABM和△BCN中，
|
∴△ABM≌△BCN（SAS），…（3分）
∴∠BAM=∠CBN，…（4分）
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；…（5分）
（2）解：∠BQM=60°还成立．…（7分）理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，
在△ABM和△BCN中，
|
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BMA=∠CNB，
∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°；
（3）解：∠BQM=60°不成立，∠BQM=90°．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，
在△ABM和△BCN中，
|
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意利用SAS证得△ABM≌△BCN是解此题的关键．
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