Question

【题目】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题我们称之为“饮马问题”．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：

直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．

解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B的长．

（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“饮马问题”的图形；

（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是　 　．

（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；

②如图3，点A（4，2），点B（1，6）在第一象限，在x轴、y轴上是否存在点D、点C，使得四边形ABCD的周长最小？若存在，请画出草图，并求其最小周长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）两点之间线段最短；（3）△PCD的周长=12；四边形ABCD的周长的最小值为+5．

【解析】

(1) 详见图

(2) 依据是两点之间线段最短;

(3) ①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，可得△MON为等边三角形，可得△PCD的周长；

②点A关于x轴的对称点F的坐标为（4，﹣2），点B关于y轴的对称点E的坐标为（﹣1，6），连接EF交x轴、y轴于点D、点C，则四边形ABCD的周长最小，根据轴对称的性质可知，BC=BE，DA=DF，可得四边形ABCD的周长的最小值.

解：（1）如图所示：

（2）

利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，

故答案为：两点之间线段最短；

（3）

①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，

连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，

连接OM、ON，

由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，

∠MON=2∠AOB=60°，

∴△MON为等边三角形，

∴MN=12，

∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；

②

点A关于x轴的对称点F的坐标为（4，﹣2），点B关于y轴的对称点E的坐标为（﹣1，6），

连接EF交x轴、y轴于点D、点C，

则四边形ABCD的周长最小，

根据轴对称的性质可知，BC=BE，DA=DF，

∴BC+CD=AD=EC+CD+DF=EF==，

AB==5，

∴四边形ABCD的周长的最小值为+5．