题目内容
【题目】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题我们称之为“饮马问题”.如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型:
直线l同旁有两个定点A、B,在直线l上存在点P,使得PA+PB的值最小.
解法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线l的交点即为P,且PA+PB的最小值为线段A′B的长.
(1)根据上面的描述,在备用图中画出解决“饮马问题”的图形;
(2)利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是 .
(3)应用:①如图2,已知∠AOB=30°,其内部有一点P,OP=12,在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O),使△PCD的周长最小,请画出草图,并求出△PCD周长的最小值;
②如图3,点A(4,2),点B(1,6)在第一象限,在x轴、y轴上是否存在点D、点C,使得四边形ABCD的周长最小?若存在,请画出草图,并求其最小周长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)两点之间线段最短;(3)△PCD的周长=12;四边形ABCD的周长的最小值为+5.
【解析】
(1) 详见图
(2) 依据是两点之间线段最短;
(3) ①分别作P关于OA、OB的对称点M、N,连接MN,交OA、OB于C、D,则△PCD的周长最小,可得△MON为等边三角形,可得△PCD的周长;
②点A关于x轴的对称点F的坐标为(4,﹣2),点B关于y轴的对称点E的坐标为(﹣1,6),连接EF交x轴、y轴于点D、点C,则四边形ABCD的周长最小,根据轴对称的性质可知,BC=BE,DA=DF,可得四边形ABCD的周长的最小值.
解:(1)如图所示:
(2)
利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短,
故答案为:两点之间线段最短;
(3)
①分别作P关于OA、OB的对称点M、N,
连接MN,交OA、OB于C、D,则△PCD的周长最小,
连接OM、ON,
由轴对称的性质可知,OM=OP=12,ON=OP=12,CP=CM,DP=DN,
∠MON=2∠AOB=60°,
∴△MON为等边三角形,
∴MN=12,
∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12;
②
点A关于x轴的对称点F的坐标为(4,﹣2),点B关于y轴的对称点E的坐标为(﹣1,6),
连接EF交x轴、y轴于点D、点C,
则四边形ABCD的周长最小,
根据轴对称的性质可知,BC=BE,DA=DF,
∴BC+CD=AD=EC+CD+DF=EF==,
AB==5,
∴四边形ABCD的周长的最小值为+5.