题目内容

已知：如图，二次函数y=x²-4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=x²-4上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

解：（1）y=x²-4，
x=0时，y=-4，
y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-4），
答：A、B、C三点的坐标分别是（-2，0），（2，0），（0，-4）．

（2）设P（m，y），
∵以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，
∠PDB=∠BOC=90°，BD=m-2，DP=y，OD=4，OB=2，
只要 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 就行，
代入得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：y= $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ，y=2m-4
∴P（m， $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），（m，2m-4），
答：P的坐标是（m， $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），（m，2m-4）．

（3）∵平行四边形ABPQ，

∴PQ=AB=4，
则Q的坐标是（m-4， $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ）或（m-4，2m-4），
代入y=x²-4得： $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ =（m-4）²-4或2m-4=（m-4）²-4，
解得：m₁= $\text{[math]}$ ＞4，m₂= $\text{[math]}$ ＜4（舍去），m₃=2＜4（舍去），m₄=8＞4，
答：抛物线y=x²-4上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，m的值是 $\text{[math]}$ 或8．
分析：（1）把x=0，y=0分别代入求出y、x即可；
（2）设P（m，y），根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出y即可；
（3）根据平行四边形的性质得到PQ=AB=4，求出Q的坐标，代入抛物线的解析式，求出m即可．
点评：此题主要考查了对二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．