题目内容

精英家教网已知,如图,二次函数y=ax2+2ax-3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:y=
3
3
x+
3
对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
分析:(1)求出方程ax2+2ax-3a=0(a≠0),即可得到A点坐标和B点坐标;把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上;
(2)根据点H、B关于过A点的直线l:y=
3
3
x+
3
对称,得出AH=AB=4,过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;
(3)解方程组
y=
3
3
x+
3
y=
3
x-
3
,即可求出K的坐标,根据点H、B关于直线AK对称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.
解答:解:(1)依题意,得ax2+2ax-3a=0(a≠0),
两边都除以a得:
即x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),
答:A、B两点坐标分别是(-3,0),(1,0).

证明:∵直线l:y=
3
3
x+
3

当x=-3时,y=
3
3
×(-3)+
3
=0

∴点A在直线l上.

(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=
3
3
x+
3
对称,精英家教网
∴AH=AB=4,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
AC=
1
2
AB=2
HC=2
3

∴顶点H(-1,2
3
)

代入二次函数解析式,解得a=-
3
2

∴二次函数解析式为y=-
3
2
x2-
3
x+
3
3
2

答:二次函数解析式为y=-
3
2
x2-
3
x+
3
3
2


(3)直线AH的解析式为y=
3
x+3
3

直线BK的解析式为y=
3
x-
3

y=
3
3
x+
3
y=
3
x-
3
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解得
x=3
y=2
3

K(3,2
3
)

则BK=4,
∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2
3
),
∴HN+MN的最小值是MB,
过K作KD⊥x轴于D,作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,
则QM=MK,QE=EK=2
3
,AE⊥QK,
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,
∵BK∥AH,
∴∠BKQ=∠HEQ=90°,
由勾股定理得QB=
BK2+QK2
=
42+(2
3
+2
3
)2
=8,
∴HN+NM+MK的最小值为8,
答:HN+NM+MK和的最小值是8.
点评:本题主要考查对勾股定理,解二元一次方程组,二次函数与一元二次方程,二次函数与X轴的交点,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度.
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