Question

已知：如图，二次函数y=x²+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3．求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据三角形OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，由于三角形AOB是锐角三角形那么B点必在x轴下方，根据这个条件可将不合题意的B点纵坐标舍去，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，因此两直线的斜率的积为-1，由此可求出直线OP的解析式，联立直线OP和抛物线的解析式，可得出P点的坐标．
求三角形POB的面积时，如果设直线BP与x轴的角度为Q的话，三角形POB的面积可分成三角形OBQ和三角形OPQ两部分来求．可先求出直线BP的解析式即可的直线BP与x轴交点坐标，然后按上面分析的三角形BOP的面积计算方法进行求解即可．

解答：解：（1）∵y=x²+（2k-1）x+k+1过（0，0），
∴k+1=0，k=-1，
y=x²-3x．

（2）设B（x₀，y₀），
∵y=x²-3x的对称轴为直线x=

3

2

∴x₀＞

3

2

，y₀＜0，
易知：A（3，0），即OA=3，
又∵

1

2

×OA•|y₀|=3
∴y₀=±2
当y₀=-2时，-2=x₀²-3x₀，
解得，x₀=2，x₀=1（舍去）；
∴B（2，-2）；

（3）当B（2，-2）时，直线OB的解析式为y=-x，
∵B0⊥PO，
∴直线0P的解析式为y=x，
∵两函数相交
∴P₁（0，0）舍去，P₂（4，4）；
由勾股定理算出OB=2

2

，OP=4

2

，
S_△OPB=

1

2

×2

2

×4

2

=8．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．