题目内容

精英家教网已知:如图,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标;
(3)对于(2)中的点B,在抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值,也就得出了抛物线的解析式.
(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标,也就求出了OA的长,根据三角形OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值,由于三角形AOB是锐角三角形那么B点必在x轴下方,根据这个条件可将不合题意的B点纵坐标舍去,然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标,然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可.
(3)根据B点坐标可求出直线OB的解析式,由于OB⊥OP,因此两直线的斜率的积为-1,由此可求出直线OP的解析式,联立直线OP和抛物线的解析式,可得出P点的坐标.
求三角形POB的面积时,如果设直线BP与x轴的角度为Q的话,三角形POB的面积可分成三角形OBQ和三角形OPQ两部分来求.可先求出直线BP的解析式即可的直线BP与x轴交点坐标,然后按上面分析的三角形BOP的面积计算方法进行求解即可.
解答:解:(1)∵y=x2+(2k-1)x+k+1过(0,0),
∴k+1=0,k=-1,
y=x2-3x.

(2)设B(x0,y0),
∵y=x2-3x的对称轴为直线x=
3
2

∴x0
3
2
,y0<0,
易知:A(3,0),即OA=3,
又∵
1
2
×OA•|y0|=3
∴y0=±2
当y0=-2时,-2=x02-3x0
解得,x0=2,x0=1(舍去);
∴B(2,-2);
精英家教网
(3)当B(2,-2)时,直线OB的解析式为y=-x,
∵B0⊥PO,
∴直线0P的解析式为y=x,
∵两函数相交
∴P1(0,0)舍去,P2(4,4);
由勾股定理算出OB=2
2
,OP=4
2

S△OPB=
1
2
×2
2
×4
2
=8.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网