题目内容
【题目】对任意一个五位正整数m，如果首位与末位、千位与十位的和均等于9，且百位为0，则称m为“开学数”．
（1）猜想任意一个“开学数”是否为
的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的立方，则称正整数a是立方数．若五位正整数m为“开学数”，记
，求满足
是立方数的所有m．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）记五位正整数
，根据题意
，
，设
为
，
为
，即可用x、y表示m，对表达式进行因式分解即可得答案；（2）利用（1）中的表达式，根据立方数的定义可确定m的取值范围，即可得立方数的个数，进而可得对应的“开学数”的个数.
：（1）记五位正整数
（其中
、
、
、
为
到
之间的正整数，
，），由题意可得：
，
．设为
，为
（，为
到之间的正整数，
），
则
可表达为：10000x+1000y+0+10(9-y)+9-x
=9999x+990y+99
=99(101x+10y+1)
根据，的取值范围，表达式
为一个正整数，
故“开学数”是
的倍数．
（2）若记
，
则记
．
根据正整数立方数的定义，
，即
的立方根是一个正整数
．
，根据，的取值范围，有开学数
，
，
可见满足为立方数的是：
，
，…
；对应的“开学数”为：
，
，
…
，共计个数．
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