题目内容
【题目】如图,在等边中,线段为边上的中线.动点在直线上时,以为一边在的下方作等边,连结.
(1)求的度数;
(2)若点在线段上时,求证:;
(3)当动点在直线上时,设直线与直线的交点为,试判断是否为定值?并说明理由.
【答案】(1)30°;(2)证明见解析;(3)是定值,.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;
(2)根据等边三角形的性质就可以得出,,,,由等式的性质就可以,根据就可以得出;
(3)分情况讨论:当点在线段上时,如图1,由(2)可知,就可以求出结论;当点在线段的延长线上时,如图2,可以得出而有而得出结论;当点在线段的延长线上时,如图3,通过得出同样可以得出结论.
(1)是等边三角形,
.
线段为边上的中线,
,
.
(2)与都是等边三角形,
,,,
,
.
在和中
,
;
(3)是定值,,
理由如下:
①当点在线段上时,如图1,
由(2)可知,则,
又,
,
是等边三角形,线段为边上的中线
平分,即
.
②当点在线段的延长线上时,如图2,
与都是等边三角形,
,,,
,
,
在和中
,
,
,
同理可得:,
.
③当点在线段的延长线上时,
与都是等边三角形,
,,,
,
,
在和中
,
,
,
同理可得:
,
∵,
.
综上,当动点在直线上时,是定值,.
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