题目内容
【题目】如图，在等边
中，线段
为
边上的中线．动点
在直线上时，以
为一边在的下方作等边
，连结
．
（1）求
的度数；
（2）若点在线段上时，求证：
；
（3）当动点在直线上时，设直线与直线的交点为
，试判断
是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）
是定值，
.
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出
，
，，
，由等式的性质就可以
，根据
就可以得出
；
（3）分情况讨论：当点
在线段
上时，如图1，由（2）可知
，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有
而得出结论；当点在线段
的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．
（1）
是等边三角形，
．
线段为
边上的中线，
，
．
（2）与
都是等边三角形，
，
，，
，
．
在
和
中
，
；
（3）是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，
由（2）可知，则，
又
，
，
是等边三角形，线段为边上的中线
平分
，即
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在
和
中
，
，
，
同理可得：
，
．
③当点在线段的延长线上时，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
，
同理可得：
，
∵，
．
综上，当动点在直线上时，是定值，．
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