Question

【题目】如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线y＝ (x＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直线AB与x轴交于P(x0，0)，与y轴交于点C.

(1)若A，B两点的坐标分别为(1，3)，(3，y2)，求点P的坐标；

(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)点P的坐标为(4，0)．

(2)点A的坐标为(2，2)，点B的坐标为(4，1)．

【解析】试题分析：

（1）把A、B的坐标代入中可求得的值，由此可得B的坐标，再把A、B的坐标代入列方程组解得的值可得一次函数的解析式，由一次函数的解析式可求得P的坐标；

（2）如图，过点A作AD⊥OC于点D，AE⊥OP于点E，由题意知DO＝AE＝y1，AD＝x1，OP＝6，OC＝b＝y1＋1，AB＝BP，∴CD＝OC－OD＝y1＋1－y1＝1，由AD∥x轴，可得，即；

由AB＝BP及线段中点坐标公式可得点B的坐标为（ ， y1），再由A、B两点都在反比例函数的图象上可得x1·y1＝ ·y1，解得x1＝2，代入，解得y1＝2，这样就可求得A、B两点的坐标了.

试题解析：

(1)∵直线y＝ax＋b与双曲线y＝ (x＞0)交于A(1，3)，∴k＝1×3＝3，

∴双曲线的解析式为y＝.

∵B(3，y2)在反比例函数的图象上，

∴y2＝＝1，

∴点B的坐标为(3，1)．

∵直线y＝ax＋b经过A，B两点，

∴，解得

∴直线的解析式为y＝－x＋4.令y＝0，则x＝4，

∴点P的坐标为(4，0)．

(2)如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，则AD∥x轴，

∴.

由题意知DO＝AE＝y1，AD＝x1，OP＝6，OC＝b＝y1＋1，AB＝BP，

∴CD＝OC－OD＝y1＋1－y1＝1，

∴.

∵AB＝BP，

∴由线段中点坐标公式可得点B的坐标为（ ， y1）.

∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，

∴x1·y1＝ ·y1，解得x1＝2，代入，解得y1＝2，

∴点A的坐标为(2，2)，点B的坐标为(4，1)．