Question

27、（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：AE=BF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=3AD，点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，求GH的长．

Answer 1

分析：（1）根据∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC，再根据ASA即可证出△FBC≌△EAB．
（2）可以认为图2中的线段GH、FE是由图1中的线段AE、BF平移得到，故GH=FE=4．
（3）由于AB=3AD，可见图3是由三个图2的基本型转化而来，据此即可解答．

解答：解：（1）∵∠AOF=90°，
∴∠OAB+∠FBA=90°，
又∵∠FBC+∠FBA=90°，
∴∠OAB=∠FBC．
又∵AB=BC，
∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF．
故AE=BF．
（2）∵图2中的线段GH、FE是由图1中的线段AE、BF平移得到，
即△ABE平移后得到△GKH，
△FBC平移后得到△FEL，
∴△GKH≌△FEL，
故GH=FE=4．
（3）把AB三等分，得到三个矩形，
将（2）过程重复，即得到GI=IJ=JH，
得GH=12．

点评：此题不仅考查了正方形的性质，还考查了平移的性质，将（2）（3）转化为（1）是解题的关键．此题体现了转化思想的重要作用．