Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；
（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据图形，易得点A、B、C、D的坐标；进而可得抛物线上三点D、M、N的坐标，将其代入解析式，求可得解析式；
（2）有（1）的解析式，可得顶点坐标，即OE、DE的长，易得△BFD∽△EOD，再由EF=FD-DE的关系代入数值可得答案；（3）首先根据CD的坐标求出CD的直线方程，在根据切线的性质，可求得P的坐标，进而可得P是否在抛物线上．

解答：解：（1）∵圆心O在坐标原点，圆O的半径为1
∴点A、B、C、D的坐标分别为A（-1，0）、B（0，-1）、C（1，0）、D（0，1）
∵抛物线与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C
∴M（-1，-1）、N（1，1）
∵点D、M、N在抛物线上，将D（0，1）、M（-1，-1）、N（1，1）的坐标代入y=ax²+bx+c，
得：

c=1 -1=a-b+c 1=a+b+c

解之，得：

a=-1 b=1 c=1

∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1．

（2）∵y=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

∴抛物线的对称轴为x=

1

2

∴OE=

1

2

，DE=

1 4 +1

=

5

2

连接BF，则∠BFD=90°
∴△BFD∽△EOD
∴

DE

DB

=

OD

FD

又DE=

5

2

，OD=1，DB=2
∴FD=

4 5

5

∴EF=FD-DE=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．

（3）点P在抛物线上．
设过D、C点的直线为y=kx+b
将点C（1，0）、D（0，1）的坐标代入y=kx+b，得
k=-1，b=1
∴直线DC为y=-x+1
过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y=-1
将y=-1代入y=-x+1，得x=2
∴P点的坐标为（2，-1）
当x=2时，y=-x²+x+1=-2²+2+1=-1
所以，P点在抛物线y=-x²+x+1上．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与圆的位置关系，要求学生将图象与解析式互相结合分析、处理问题．