Question

如图1，在等腰△ABC中，底边BC＝8，高AD＝2，一动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC向右运动，到达D点停止；另一动点P从距离B点1个单位的位置出发，以相同的速度沿BC向右运动，到达DC中点停止；已知P、Q同时出发，以PQ为边作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当点N落在AB边上时，t的值为   ，当点N落在AC边上时，t的值为   ；
（2）设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S，求出当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式以及t的取值范围；
（3）（本小题选做题，做对得5分，但全卷不超过150分）
如图2，分别取AB、AC的中点E、F，连接ED、FD，当点P、Q开始运动时，点G从BE中点出发，以每秒 个单位的速度沿折线BE－ED－DF向F点运动，到达F点停止运动．请问在点P的整个运动过程中，点G可能与PN边的中点重合吗？如果可能，请直接写出t的值或取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）1   
（2）  
（3）可能．t＝0或t＝2或4≤t≤5

试题分析：本题属于学科综合题，代数知识与几何知识有机结合在一起，体现了数形结合的思想，解答此类综合题关键是数与形的灵活转化.（1）当点N落在AB边上时，NP=1,NP∥AD,利用平行线对应线段成比例的性质可算出t的值；当N落在AC边上时,正方形的边长不再是1,Q点已经停在D点,PD=t-3,∴PN="t-3," PC=4-(t-3)=7-t ∵PN∥DA ∴ ∴ ∴t=．（2）画出运动中的图形，根据具体图形利用未知数t的代数式表示并求其面积.（3）重点是准确画出图形变化，PN中点与G何时重合.
试题解析： （1）解：∵NP∥AD    PN=1  AD="2" ∴ ∴PN是△ABD的中位线 ∴BP=2∴t=1
∵PD="t-3," ∴PN="t-3," PC=4-(t-3)=7-t 
∵PN∥DA ∴∴ ∴t=．
( 2 )当  0＜t＜1，重叠部分为梯形，当1＜t＜2时,设EQ交AB于R，则重叠部分为五边形PQREN.

（2）当1＜t＜2时, 设EQ交AB于R，则重叠部分为五边形PQREN.
∵ME＝2－t，MR＝ ME＝(2－t)∴S_△MRE ＝ ME·MR＝(2－t)²
∴S＝S_{正方形PQMN}－S_△MRE ＝1－(2－t)²＝－t²＋t 

当＜t＜5时
设MN交AC于S，PN交AC于T，则重叠部分为五边形PQMST
∵AM＝2－(t－3)＝5－t，MS＝2AM＝2(5－t) PC＝7－t，PT＝ PC＝(7－t)
∴S_△AMS ＝ AM·MS＝(5－t)²，S_△PTC ＝ PC·PT＝(7－t)²
又S_△ADC ＝ AD·CD＝×2×4＝4
∴S＝S_△ADC－S_△AMS －S_△PTC ＝4－(5－t)²－(7－t)²＝－t²＋t－
综上所述，当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式为：

（3）可能． t＝0或t＝2或4≤t≤5
当t=0时，QP=1,GP=,G为BE中点，也为NP中点．

当t=2时，G点所走路程为_×2=，到达DE中点.正方形 PQEN运动到图形位置，EQ=1，GP= NP为NP中点.

当4≤t≤5时，DP=t-3 设NP与DF相交与点R则PR=(t-3) 由勾股定理得DR= (t-3) 此时DG=t-= (t-3) 所以点R与点G重合.