题目内容
如图,点A(4,m)在一次函数y=2x-4和二次函数y=ax2的图象上,过点A作直线y=n的垂线,垂足为E,点E关于直线y=2x-4的对称点F在y轴上,点C是直线y=2x-4与y轴的交点.(1)求二次函数解析式;
(2)求实数n的值;
(3)二次函数y=ax2的图象上是否存在一点P,且满足PA=PC?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)首先根据点A(4,m)在一次函数y=2x-4和二次函数y=ax2的图象上,代入首先求得m的值,进而确定A坐标的具体值,再代入确定a的值.此时二次函数解析式确定.
(2)过E作AC的垂线EF交y轴于点F.由(1)知A点的坐标为(4,4),则E点的坐标为(4,n),并设F点的坐标为(0,k).根据EF垂直于AC写出EF的斜率,再根据E、F点的坐标写出直线EF关于n、k的表达式.根据AF=AE,根据坐标点A、E、F写出关于n、k的表达式.联立解得n的值.
(3)设存在P点的坐标为(t,
t2).根据C是直线y=2x-4与y轴的交点确定出C点的坐标.利用PA=PC与两点间的距离公式求出t的值,代入即可求出P点的具体值.
(2)过E作AC的垂线EF交y轴于点F.由(1)知A点的坐标为(4,4),则E点的坐标为(4,n),并设F点的坐标为(0,k).根据EF垂直于AC写出EF的斜率,再根据E、F点的坐标写出直线EF关于n、k的表达式.根据AF=AE,根据坐标点A、E、F写出关于n、k的表达式.联立解得n的值.
(3)设存在P点的坐标为(t,
1 |
4 |
解答:解:(1)∵点A(4,m)在一次函数y=2x-4图象上
∴m=2×4-4=4,即A点的坐标为(4,4)
∵点A(4,4)二次函数y=ax2的图象上
∴4=a×42,即a=
∴二次函数解析式是y=
x2
(2)由(1)知A点的坐标为(4,4),则E点的坐标为(4,n)
设F点的坐标为(0,k),由M点在直线AC上可知M(
,n),
则EM=4-
=
,AE=4-n,
∵直线EF⊥AC,∴△EFG∽△AME,
∴
=
,即
=
,解得FG=2,
由AF=AE,得
=4-n,解得n=-1;
(3)设存在P点的坐标为(t,
t2)
∵点C是直线y=2x-4与y轴的交点
∴点C的坐标为(0,-4)
∵PA=PC
∴
=
?t2+2t-4=0,解得t=-1+
或t=-1-
则P点的坐标为(-1+
,
)或(-1-
,
)
答:y=
x2;n=-1;P(-1+
,
)或(-1-
,
)
∴m=2×4-4=4,即A点的坐标为(4,4)
∵点A(4,4)二次函数y=ax2的图象上
∴4=a×42,即a=
1 |
4 |
∴二次函数解析式是y=
1 |
4 |
(2)由(1)知A点的坐标为(4,4),则E点的坐标为(4,n)
设F点的坐标为(0,k),由M点在直线AC上可知M(
n+4 |
2 |
则EM=4-
n+4 |
2 |
4-n |
2 |
∵直线EF⊥AC,∴△EFG∽△AME,
∴
FG |
ME |
EG |
AE |
FG | ||
|
4 |
4-n |
由AF=AE,得
(4-n-2)2+42 |
(3)设存在P点的坐标为(t,
1 |
4 |
∵点C是直线y=2x-4与y轴的交点
∴点C的坐标为(0,-4)
∵PA=PC
∴
(t-4)2+(
|
(t-0)2+(
|
5 |
5 |
则P点的坐标为(-1+
5 |
3-
| ||
2 |
5 |
3+
| ||
2 |
答:y=
1 |
4 |
5 |
3-
| ||
2 |
5 |
3+
| ||
2 |
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数图象交点的求法、两点间的距离公式等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法.
练习册系列答案
相关题目
如图,点A的坐标为(2
,0),点B在直线y=-x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为( )
2 |
A、(0,0) | ||||||||
B、(
| ||||||||
C、(1,1) | ||||||||
D、(
|