题目内容
【题目】如图,直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,过点
的抛物线
与
轴的另一个交点为
.
(1)求抛物线的解析式和点的坐标;
(2)是直线
上方抛物线上一动点,
交
于
.设
,请求出
的最大值和此时点
的坐标;
(3)是
轴上一动点,连接
,将
绕点
逆时针旋转
得线段
,若点
恰好落在抛物线上,请直接写出此时点
的坐标.
备用图
【答案】(1),点
的坐标为
;(2)
的最大值为
,此时
;(3)(
,
)或(
,
)
【解析】
(1)把点B(3,0)代入先求得c的值,再求得点C的坐标,利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)设点P的横坐标为,作
轴于N,交BC于M,先用m表示出
,再作
于E,
于F,得到
,即
,推出
,得到
,利用二次函数的性质即可求解;
(3)过M,E分别作轴,
轴的垂线交于H,设点M的坐标为(
,
),证得
,得到点E的坐标为(
,
),代入
即可得n的值,即可求解.
(1)∵与
轴交于点
,与
轴交于点C,
∴,解得
,
∴,
∵抛物线经过点B,C,
∴
解得,
∴抛物线解析式为;
当时,
,
解得:
∴点的坐标为
;
(2)设点P的横坐标为,连接PC,PB,过P作
轴于N,交BC于M,
由(1)知:直线的解析式为
,
∴,
则,
,
∴,
∴
,
连接AC,分别过A,P作于E,
于F,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴当时,
的最大值为
,此时
;
(3)过M,E分别作轴,
轴的垂线交于H,
∴∠H=90,∠MEH=∠OME,
根据旋转的性质知:∠CME=90,EM=MC,
∴∠CMO+∠OME=90,∠CMO+∠MCO=90
,
∴∠MEH=∠MCO,
设点M的坐标为(,
),
根据题意将绕点
逆时针旋转
得线段
,若点
恰好落在抛物线上,
则点M在轴正半轴上,即
,
在Rt△MEH和Rt△MCO中,
,
∴,
∴,
,
∴点E的坐标为:(,
),
把代入E (,
) 代入
,
整理得:,
解得,
.
∴点M的坐标为:(,
)或(
,
).

【题目】我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用,方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.
x(厘米) | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 | 12 |
y(斤) | 0.75 | 1.00 | 1.50 | 2.75 | 3.25 | 3.50 |
(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误的?
(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是多少?
【题目】某校组织了一次创建全国文明城市知识竞赛活动,有30名同学参加这次竞赛,成绩分布频数表如下:(单位:分)
成绩(分) | 组中值 | 频数(人数) |
80.5~85.5 | 83 | 3 |
85.5~90.5 | 88 | 6 |
90.5~95.5 | 93 | 12 |
95.5~100.5 | 98 | 9 |
(1)利用组中值计算这30位同学的平均数;
(2)学校根据这次竞赛成绩从高到低选15位同学参加市级比赛,小明同学也参加了这次竞赛,知道自己的成绩后,他想知道自己是否有资格参加市里比赛(学校还未公布到市里比赛名单),他最应关注频数,平均分,众数,中位数中的哪个量?请说明理由;
(3)“创文知识竞赛”中,获一等奖的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯图案的三枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有彩灯图案的概率是多少?请用树状图或列表法说明.