题目内容
如图,直线经过A(1,0),B(0,1)两点,点P是双曲线y=
(x>0)上任意一点,PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M,N.PM与直线AB交于点E,PN的延长线与直线AB交于点F.
(1)求证:AF•BE=1;
(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点,求公共点的坐标.
1 |
2x |
(1)求证:AF•BE=1;
(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点,求公共点的坐标.
(1)证明:过点E、F分别作y轴、x轴的垂线,垂足为D、C,
则△AOB,△FCA,△DBE为等腰直角三角形,
设P(x0,y0),则FC=y0,DE=x0,AF=
y0,BE=
x0,
∴AF•BE=
y0•
x0=2x0y0,
又y0=
,
即2x0y0=1,
∴AF•BE=1;
(2)平行于AB的直线l的解析式为y=-x+b,设l与双曲线的唯一公共点Q坐标为(x,y),
联立
,得2x2-2bx+1=0,
由△=4b2-8=0,得b=
(-
舍去),
∴x=
,y=
,
即Q点的坐标为(
,
).
则△AOB,△FCA,△DBE为等腰直角三角形,
设P(x0,y0),则FC=y0,DE=x0,AF=
2 |
2 |
∴AF•BE=
2 |
2 |
又y0=
1 |
2x0 |
即2x0y0=1,
∴AF•BE=1;
(2)平行于AB的直线l的解析式为y=-x+b,设l与双曲线的唯一公共点Q坐标为(x,y),
联立
|
由△=4b2-8=0,得b=
2 |
2 |
∴x=
| ||
2 |
| ||
2 |
即Q点的坐标为(
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2 |
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