题目内容
【题目】如图,△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BC=12cm,把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置,DF交BC于点H.△ABC与△DEF重叠部分的面积为( )cm2.
A.8 B.9 C.10 D.12
【答案】B
【解析】
试题分析:如图,由点P为斜边BC的中点得到PC=BC=6,再根据旋转的性质得PF=PC=6,∠FPC=90°,∠F=∠C=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系,在Rt△PFH中计算出PH=PF=2;在Rt△CPM中计算出PM=PC=2,且∠PMC=60°,则∠FMN=∠PMC=60°,于是有∠FNM=90°,FM=PF﹣PM=6﹣2,则在Rt△FMN中可计算出MN=FM=3﹣,FN=MN=3﹣3,然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH﹣S△FMN进行计算即可.
解:如图,
∵点P为斜边BC的中点,
∴PB=PC=BC=6,
∵△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置,
∴PF=PC=6,∠FPC=90°,∠F=∠C=30°,
在Rt△PFH中,∵∠F=30°,
∴PH=PF=×6=2,
在Rt△CPM中,∵∠C=30°,
∴PM=PC=×6=2,∠PMC=60°,
∴∠FMN=∠PMC=60°,
∴∠FNM=90°,
而FM=PF﹣PM=6﹣2,
在Rt△FMN中,∵∠F=30°,
∴MN=FM=3﹣,
∴FN=MN=3﹣3,
∴△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH﹣S△FMN
=×6×2﹣(3﹣)(3﹣3)
=9(cm2).
故选:B.
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