Question

【题目】如图：已知矩形ABCD中，AB=cm，BC=3cm，点O在边AD上，且AO=1cm.将矩形ABCD绕点O逆时针旋转角()，得到矩形A′B′C′D′

(1)求证：AC⊥OB；

(2)如图1, 当B′落在AC上时，求AA′；

(3)如图2，求旋转过程中△CC′D′的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由三角函数可求得∠AOB＝60°，∠CAD＝30°，易证AC⊥OB；

（2）求出OB、BB′，利用可求得；

（3）过C点作CH⊥于C′D′点H，连结OC，则CH≤OC＋OD′，由此可判断出D′在CO的延长线上时△CC′D′的面积最大，然后根据三角形面积公式求解即可.

解：(1)Rt△OAB中， ∴∠AOB＝60°

Rt△ACD中，

∴∠CAD＝30°

∴∠OMA＝180°－60°－30°＝90°

即AC⊥OB

(2)Rt△OAM中，

Rt△OAB中，OB′＝OB＝＝2，

Rt△O B′M中，B′M＝，

BM＝OB－OM＝，

Rt△BB′M中，

∴，

∴

(3)如图，过C点作CH⊥于C′D′点H，连结OC，则CH≤OC＋OD′

只有当D′在CO的延长线上时，CH才最大.

又C′D′长一定，故此时△CC′D′的面积的最大.

而

∴△CC′D′的最大面积为