Question

【题目】如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点(点不与端点重合)，且，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接.

(1)求证：四边形是正方形；

(2)当点在什么位置是，四边形的面积最小？并求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.

【解析】

试题分析：（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；

（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．

试题解析：（1）证明：连接CD，如图1所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF为等腰直角三角形．

∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四边形EDFG是正方形；

（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′=BC=2，AB=4，点E′为AC的中点，

∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）．

∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．

∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．