题目内容
【题目】如图,在等腰直角三角形中,
,
,
是
的中点,
,
分别是
,
上的点(点
不与端点
重合),且
,连接
并取
的中点
,连接
并延长至点
,使
,连接
.
(1)求证:四边形是正方形;
(2)当点在什么位置是,四边形
的面积最小?并求四边形
面积的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4.
【解析】
试题分析:(1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD,结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF(SAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF,通过角的计算可得出∠EDF=90°,再根据O为EF的中点、GO=OD,即可得出GD⊥EF,且GD=2OD=EF,由此即可证出四边形EDFG是正方形;
(2)过点D作DE′⊥AC于E′,根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度,从而得出2≤DE<2,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.
试题解析:(1)证明:连接CD,如图1所示.
∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD.
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,
∴△EDF为等腰直角三角形.
∵O为EF的中点,GO=OD,∴GD⊥EF,且GD=2OD=EF,
∴四边形EDFG是正方形;
(2)解:过点D作DE′⊥AC于E′,如图2所示.
∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴DE′=BC=2,AB=4
,点E′为AC的中点,
∴2≤DE<2(点E与点E′重合时取等号).
∴4≤S四边形EDFG=DE2<8.
∴当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4.
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