Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E．求证：BD=AE．

（2）若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先证∠ABD=∠CAE，再证△ABD≌△CAE即可得出答案．
（2）根据题意画出图形，然后可根据△ABD≌△ACE得出结论．

解答：证明：（1）∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

AB=AC ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD

∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．

（2）BD与AE仍然相等，
证明：过点C作AB∥CE，过点A作AE⊥BD于点F，
∵AB∥CE，
∴∠BAE=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

∠BAC=∠ACE AB=AC ∠ABD=∠AEC

∴△ABD≌△CAE（ASA）
∴BD=AE．

点评：本题考查等腰三角形的性质，难度不大，注意利用全等三角形的知识证明线段的相等．