Question

【题目】抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）如图1，已知A(﹣1，0)，B(3，0)．

①直接写出抛物线的解析式；

②点H在x轴上，M(1，0)，连接AC、MC、HC，若CM平分∠ACH，求H的坐标；

（2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x2+2x+3，②(，0)；（2）DB⊥AE，见解析

【解析】

（1）①用待定系数法解答便可；

②过H作HN∥AC与CM的延长线交于点N，证明△ACM∽△HNM，进而得，再在△OCH中，由勾股定理得列出方程便可求得结果；

（2）设DE与x轴交于点K，先求出D点坐标，进而得BK、DK、EK、AK，再计算tan∠BDK和tan∠EAK，得这两角相等，最后推理得∠BDK+∠E＝90°便可．

（1）①把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得

，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

②过H作HN∥AC与CM的延长线交于点N，如图1

∴△ACM∽△HNM，

∴，

∴∠ACN＝∠N，

∵CM平分∠ACH，

∴∠HCN＝∠ACN＝∠CNH，

∴CH＝NH，

∴，

∵C（0，3），

∴，

AM＝2，

∴，

∴，

设MH＝2a，则CH＝a，

∵OC2+OH2＝CH2，

∴，

解得，a＝﹣1（舍去），或，

∴，

∴H（，0）；

（2）当y＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c＝﹣1，则x2﹣bx﹣c﹣1＝0，

∴，

∴D（，﹣1），

当y＝0时，y＝﹣x2+bx+c＝0，即x2﹣bx﹣c＝0，则，

∴，，

设DE与x轴交于点K，

则，

∴，

又，

∴，

∴∠BDK＝∠EAK，

∵DE⊥AK，

∴∠EAK+∠E＝90°，

∴∠BDK+∠E＝90°，

∴BD⊥AE．