题目内容
【题目】如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合),连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)填空:∠APC=____ 度,∠BPC=____度;
(2)求证:△ACM≌△BCP;
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.
【答案】(1)∠APC=60°,∠BPC=60°;(2)证明见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)同弧所对圆周角相等.(2)证明A、P、B、C四点共圆,再利用AAS证明三角形全等.(3) 作PH⊥CM于H,利用(2)全等证明PCM是等边三角形,Rt△PMH是30°特殊三角形,可求得梯形PBCM的面积.
试题解析:
解答:(1)解:∠APC=60°,∠BPC=60°;
(2)证明:∵CM∥BP,
∴∠BPM+∠M=180°,
∠PCM=∠BPC,
∵∠BPC=∠BAC=60°,
∴∠PCM=∠BPC=60°,
∴∠M=180°-∠BPM=180°-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°,
∴∠M=∠BPC=60°,
又∵A、P、B、C四点共圆,
∴∠PAC+∠PBC=180°,
∵∠MAC+∠PAC=180°,
∴∠MAC=∠PBC,
∵AC=BC,
∴△ACM≌△BCP;
(3)解:作PH⊥CM于H,
∵△ACM≌△BCP,
∴CM=CP AM=BP,
又∠M=60°,
∴△PCM为等边三角形,
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,
在Rt△PMH中,∠MPH=30°,
∴PH=,
∴S梯形PBCM=(PB+CM)×PH=(2+3)×= .