题目内容
已知等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上一点，过D点作DE⊥BC交AB于E，连接CE，F为CE中点，连接AF、DF．（1）求证：AF=DF；
（2）将图①中△BDE绕点B顺时针旋转45°，如图②所示，取CE的中点F，连接AF、DF，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BDE绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，则（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
分析：（1）要证明AF=DF，从图上及已知条件很容易得出利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到结论．
（2）是一个结论猜想试题，根据第一问的结论和条件作出猜想，就要想法证明这两条线段所在的三角形全等，图中没有全等三角形就要利用辅助线，利用45°角制造全等三角形解决问题．
（3）它是在前两问的基础上作出判断．
（2）是一个结论猜想试题，根据第一问的结论和条件作出猜想，就要想法证明这两条线段所在的三角形全等，图中没有全等三角形就要利用辅助线，利用45°角制造全等三角形解决问题．
（3）它是在前两问的基础上作出判断．
解答：
解：（1）∵∠EAC=90°F为EC的中点
∴AF=
EC
∵∠EDC=90°F为EC的中点
∴DF=
EC
∴AF=DF；
（2）仍然成立
∵FG⊥BC，AC⊥BA
∴∠GFC=∠GAH=90°
∵∠C=∠ABC=45°
∴△GFC、△GAH、△BFH均为等腰直角三角形
∵F为EC的中点
∴EF=FG=FC
∵BF=FH
∴BF-EF=FH-FG
即BE=HG，易得△BDE≌△HAG
∴BD=AH
∵∠DBF=∠H=45°，BF=FH
∴△BDF≌△HAF
∴AF=DF；
（3）（1）的结论仍然成立．即AF=DF
还发现AF⊥DF．
解：（1）∵∠EAC=90°F为EC的中点
∴AF=
| 1 |
| 2 |
∵∠EDC=90°F为EC的中点
∴DF=
| 1 |
| 2 |
∴AF=DF；
（2）仍然成立
∵FG⊥BC，AC⊥BA
∴∠GFC=∠GAH=90°
∵∠C=∠ABC=45°
∴△GFC、△GAH、△BFH均为等腰直角三角形
∵F为EC的中点
∴EF=FG=FC
∵BF=FH
∴BF-EF=FH-FG
即BE=HG，易得△BDE≌△HAG
∴BD=AH
∵∠DBF=∠H=45°，BF=FH
∴△BDF≌△HAF
∴AF=DF；
（3）（1）的结论仍然成立．即AF=DF
还发现AF⊥DF．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的运用及辅助线的作法等多个知识点，是一道综合性较强的几何题．每小问之间是步步加难，层层递进．
练习册系列答案
相关题目
已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（ ）
A、5
| ||
B、12
| ||
C、5
| ||
D、10
|
如图，已知等腰直角三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，直角顶点B恰好落在双曲线
如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．