题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=
x+2；（2）y=x+2；（2）①S=﹣2t+16，②点P的坐标是（
，10）；（3）存在，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2
+2）或（6，10﹣2）．
【解析】分析：（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②设P（m，10），则PB=PB′=m，根据勾股定理求出m的值，求出此时P坐标即可；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
详解：（1）如图1，
∵OA=6，OB=10，四边形OACB为长方形，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y=kx+b，
把（0，2），C（6，10）分别代入，得
，解得
则此时直线DP解析式为y=x+2；
（2）①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6；
当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+10﹣2t=16﹣2t，S=
×2×（16﹣2t）=﹣2t+16；
②设P（m，10），则PB=PB′=m，如图2，
∵OB′=OB=10，OA=6，
∴AB′=
=8，
∴B′C=10﹣8=2，
∵PC=6﹣m，
∴m2=22+（6﹣m）2，解得m=
则此时点P的坐标是（，10）；
（3）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8，
在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，
根据勾股定理得：CP1=
=2，
∴AP1=10﹣2，即P1（6，10﹣2）；
②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB=DP3=8时，
在Rt△DEP3中，DE=6，
根据勾股定理得：P3E==2，
∴AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．
