题目内容
如图1,AC⊥CG,AC=2
,B是CG上一动点,将△ABC沿直线AB翻折到△ABD.过D作直线DE⊥CG,垂足为E.
(1)若BC=2,则∠ABD= .
(2)在(1)的条件下,求证:DE是以AB为直径的圆O的切线;
(3)点B由(1)的位置向点C运动,如图2直线DE与以AB为直径的圆O交于D、F两点,当∠DAF=∠CAB时,求∠CAB的大小和BC的长.
3 |
(1)若BC=2,则∠ABD=
(2)在(1)的条件下,求证:DE是以AB为直径的圆O的切线;
(3)点B由(1)的位置向点C运动,如图2直线DE与以AB为直径的圆O交于D、F两点,当∠DAF=∠CAB时,求∠CAB的大小和BC的长.
考点:切线的判定,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理
专题:
分析:(1)先证明∠ADB=∠ACB=90°,再根据O为AB的中点,OD=OB=
AB,得出点D在⊙O上,再根据cot∠CAB=
=
,得出∠CAB=∠BAD=30°,从而求出∠ABC=∠ABD=60°;
(2)先求出∠DBE=60°,再根据∠DEB=90°,得出∠BDE=30°,再证明△BDO是等边三角形,得出∠BDO=60°,∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°,OD⊥DE,即可证出DE是以AB为直径的圆O的切线;
(3)根据∠DAF=∠CAB,得出∠DAF=∠CAB=∠DAB,则
=
=
,再根据CG⊥DF,AC⊥CG,得出DF∥AC,
=
=2
,
=4
,最后根据
=4
=180°,
=45°,求出∠CAB=22.5°,BC=AC×tan22.5°.
1 |
2 |
AC |
BC |
3 |
(2)先求出∠DBE=60°,再根据∠DEB=90°,得出∠BDE=30°,再证明△BDO是等边三角形,得出∠BDO=60°,∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°,OD⊥DE,即可证出DE是以AB为直径的圆O的切线;
(3)根据∠DAF=∠CAB,得出∠DAF=∠CAB=∠DAB,则
BC |
BD |
DF |
AF |
CD |
BC |
AFB |
BC |
AFB |
BC |
BC |
解答:解:(1)连结AD,
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,
∴△ADB≌△ACB,
∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵O为AB的中点,
∴OD=OB=
AB,
∴点D在⊙O上,
在Rt△ACB中,AC=2
,BC=2,
∴cot∠CAB=
=
,
∴∠CAB=∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠ABD=60°,
(2)∵∠ABC=∠ABD=60°,
∴∠DBE=60°,
∵∠DEB=90°,
∴∠BDE=30°,
∵OB=OD,∠ABD=60°,
∴△BDO是等边三角形,
∴∠BDO=60°,∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是以AB为直径的圆O的切线;
(3)∵∠DAF=∠CAB,
∴∠DAF=∠CAB=∠DAB,
∴
=
=
,
又∵CG⊥DF,AC⊥CG,
∴DF∥AC,
∴
=
=2
,
=4
,
又∵AB是直径,
∴
=4
=180°,
=45°,
∴∠CAB=22.5°,BC=AC×tan22.5°=2
×(
-1)=2
-2
.
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,
∴△ADB≌△ACB,
∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵O为AB的中点,
∴OD=OB=
1 |
2 |
∴点D在⊙O上,
在Rt△ACB中,AC=2
3 |
∴cot∠CAB=
AC |
BC |
3 |
∴∠CAB=∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠ABD=60°,
(2)∵∠ABC=∠ABD=60°,
∴∠DBE=60°,
∵∠DEB=90°,
∴∠BDE=30°,
∵OB=OD,∠ABD=60°,
∴△BDO是等边三角形,
∴∠BDO=60°,∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是以AB为直径的圆O的切线;
(3)∵∠DAF=∠CAB,
∴∠DAF=∠CAB=∠DAB,
∴
BC |
BD |
DF |
又∵CG⊥DF,AC⊥CG,
∴DF∥AC,
∴
AF |
CD |
BC |
AFB |
BC |
又∵AB是直径,
∴
AFB |
BC |
BC |
∴∠CAB=22.5°,BC=AC×tan22.5°=2
3 |
2 |
6 |
3 |
点评:此题考查了切线的判定,用到的知识点是轴对称、切线的判定、解直角三角形、等边三角形等,关键是综合应用有关性质,列出算式,求出答案.
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