Question

如图，点P是⊙O上任意一点，⊙O的弦AB所在的直线与⊙P相切于点C，PF为⊙O的直径，设⊙O与⊙P的半径分别为R和r．
（1）求证：△PCB∽△PAF；
（2）求证：PA•PB=2Rr；
（3）若点D是两圆的一个交点，连接AD交⊙P于点E，当R=3r，PA=6，PB=3时，求⊙P的弦DE的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质知∠PCB=90°、直径所对的圆周角∠PAF=90°，∠PBC=∠F，易得△PCB∽△PAF；
（2）由（1）所得结论PA•PB=PC•PF即PA•PB=2Rr；
（3）求⊙P的弦DE的长是一个较复杂的问题，可先作出弦DE的弦心距PH．通过解直角三角形来求．

解答：（1）证明：∵AC切⊙P于C，PF为⊙O的直径，
∴∠PCB=∠PAF=90°，
又∵∠CBP=∠F，
∴△PCB∽△PAF．
　　
（2）证明：∵△PCB∽△PAF，
∴

PC

PB

=

PA

PF

，
∴PA•PB=PC•PF=2Rr；

（3）解：连接PD，过点P作PH⊥DE于H．
∵∠PCB=∠PHD=90°，∠CBP=∠F=∠HDP，
∴△CBP∽△HDP，
∴

PC

PH

=

PB

PD

．
∴PH•PB=PC•PD．
又∵PC=PD=r，
∴PH•PB=r²，
∴PH=

r2

PB

．
∵PA=6，PB=3，
由（2）知PA•PB=2Rr，
∴r=

3

，R=3

3

．
∴PH=

r2

PB

=

( 3 )2

3

=1．
∴DH=

PD2-PH2

=

3

-1=

2

，
∴DE=2

2

．

点评：本题综合考查了相似三角形是判定与性质、圆内接四边形的性质及切线的性质．解第（1）、（2）问的解决运用了以下知识：切线的性质，圆周角定理的推论，圆的内接四边形的性质．由此可以看出在两圆的位置关系问题中，综合知识的运用是至关重要的；第（3）问求弦DE的长是一个较复杂的问题，但还是离不开前面的基本知识“弦和弦心距亲密紧相连”，由此可以看出解决问题的基本模式是相当重要的．