Question

如图，正方形OABC的面积为16，点O为坐标原点，点B在函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．（提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况）
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当S=8时，求点P的坐标；
（3）写出S与m的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）先求出正方形的边长，然后根据反比例函数图象在第一象限写出点B的坐标，再根据待定系数法列式即可求出k值；
（2）①当点P在点B的左边时，不重合部分的面积为m（n-4）与4（4-m），再根据反比例函数的性质，进行计算即可求解，②当点P在点B的右边时，不重合部分的面积为4（4-n）与n（m-4），再根据反比例函数的性质，进行计算即可求解；
（3）分点P在点B的左边与右边两种情况，结合反比例函数的性质，消去字母n，整理即可得到S与m的函数关系式．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面积为16，
∴OA=OC=4，
∴B（4，4），
又∵点B（4，4）在函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，
∴

k

4

=4，
解得k=16，
故答案为：点B的坐标是（4，4），k=16； （2分）

（2）分两种情况：
①当点P在点B的左侧时，
∵P（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=16，
∴S=m（n-4）+4（4-m）=mn-4m+16-4m=32-8m=8，
解得m=3，
∴n=

16

3

，
∴点P的坐标是P（3，

16

3

）；
②当点P在点B的右侧时，
∵P（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=16，
∴S=4（4-n）+n（m-4）=16-4n+mn-4n=32-8n=8，
解得n=3，
∴

16

m

=3，
解得m=

16

3

，
∴点P的坐标是P（

16

3

，3）；（6分）

（3）当0＜m＜4时，点P在点B的左边，此时S=32-8m，
当m≥4时，点P在点B的右边，此时S=32-8n=32-8×

16

m

=32-

128

m

．（2分）

点评：本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况，并且不重叠部分有两部分，进行讨论求解，避免漏解而导致出错．