题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3,以此类推、则正方形OB2018B2019C2019的顶点B2019的坐标是______________
【答案】(-21009,21009)
【解析】
首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标,找出这些坐标之间的规律,然后根据规律计算出点B2019的坐标.
解:∵边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,
∴B1点坐标为(1,1),OB1= ,
∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB为边,
∴OB2=2,
∴B2点坐标为(0,2),
同理可知OB3=,B3点坐标为(-2,2),
同理可知OB4=4,B4点坐标为(-4,0),
B5点坐标为(-4,-4),B6点坐标为(0,-8),
B7(8,-8),B8(16,0),B9(16,16),
由规律可以发现,每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的倍,
∴当k为自然数,
如果n=8k+1时,那么Bn(24k,24k);
如果n=8k+2时,那么Bn(0,24k+1);
如果n=8k+3时,那么Bn(-24k+1,24k+1);
如果n=8k+4时,那么Bn(-24k+2,0);
如果n=8k+5时,那么Bn(-24k+2,-24k+2);
如果n=8k+6时,那么Bn(0,-24k+3);
如果n=8k+7时,那么Bn(24k+3,-24k+3);
如果n=8k+8时,那么Bn(24k+4,0);
∵2019÷8=252+3,B8n+3(-24k+1,24k+1),
∴B2019(-21009,21009).
故答案为:(-21009,21009)
