题目内容

【题目】如图1,AB为⊙O的直径,点P是直径AB上任意一点,过点P作弦CD⊥AB,垂足为P,过点B的直线与线段AD的延长线交于点F,且∠F=∠ABC.

(1)若CD=,BP=4,求⊙O的半径;
(2)求证:直线BF是⊙O的切线;
(3)当点P与点O重合时,过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E,在其它条件不变的情况下,判断四边形AEBF是什么特殊的四边形?请在图2中补全图象并证明你的结论.

【答案】
(1)

解:CD⊥AB,

∴PC=PD=CD=

如图,连接OC,

设⊙O的半径为r,则PO=PB﹣r=4﹣r,

在RT△POC中,OC2=OP2+PC2

即r2=(4﹣r)2+(2,解得r=


(2)

证明:∵∠A=∠C,∠F=∠ABC,

∴∠ABF=∠CPB,

∵CD⊥AB,

∴∠ABF=∠CPB=90°,

∴直线BF是⊙O的切线;


(3)

解:四边形AEBF是平行四边形;

理由:如图2所示:

∵CD⊥AB,垂足为P,

∴当点P与点O重合时,CD=AB,

∴OC=OD,

∵AE是⊙O的切线,

∴BA⊥AE,

∵CD⊥AB,

∴DC∥AE,

∵AO=OB,

∴OC是△ABE的中位线,

∴AE=2OC,

∵∠D=∠ABC,∠F=∠ABC.

∴∠D=∠F,

∴CD∥BF,

∵AE∥BF,

∵OA=OB,

∴OD是△ABF的中位线,

∴BF=2OD,

∴AE=BF,

∴四边形AEBF是平行四边形.


【解析】(1)根据垂径定理求得PC,连接OC,根据勾股定理求得即可;
(2)求得△PBC∽△BFA,根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°,即可证得结论;
(3)通过证得AE=BF,AE∥BF,从而证得四边形AEBF是平行四边形.
此题考查了圆的综合应用,涉及知识点有垂径定理,勾股定理,相似三角形性质和平行四边形判定.

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