题目内容

如图所示，在⊙O中， $数学公式$ = $数学公式$ ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC²=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

（1）证明：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即AC²=AB•AF；

（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE= $\text{[math]}$ ×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cm，
∴AC=2AE=2 $\text{[math]}$ cm，
则S_阴影=S_扇形OAC-S_△AOC= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×1=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）cm²．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；
（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积-△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．