Question

如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-3，-4），线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
（1）直接写出点A的坐标，并求出经过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积．

Answer 1

分析：（1）首先求出OB的长，由旋转的性质知OB=OA，即可得到A点的坐标，然后用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）由于O、A关于抛物线的对称轴对称，若连接AB，则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得C点的坐标；
（3）可过P作y轴的平行线，交直线AB于M；可设出P点的横坐标（根据P点的位置可确定其横坐标的取值范围），根据抛物线和直线AB的解析式，可表示出P、M的纵坐标，即可得到PM的长，以PM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高即可得到△PAB的面积，从而得出关于△PAB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求得△PAB的最大面积及对应的P点坐标．

解答：解：（1）点A的坐标（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
∴

-4=a(-3)2+b(-3) 0=25a+5b

，
∴a=-

1

6

，b=

5

6

，
∴y=-

1

6

x2+

5

6

x；

（2）由于A、O关于抛物线的对称轴对称，连接AB，
则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点；
易求得直线AB的解析式为：y=

1

2

x-

5

2

，
抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=

5

2

，
当x=

5

2

时，y=

1

2

×

5

2

-

5

2

=-

5

4

；
∴点C的坐标为（

5

2

，-

5

4

）；

（3）过P作直线PM∥y轴，交AB于M，
设P（x，-

1

6

x²+

5

6

x），则M（x，

1

2

x-

5

2

），
∴PM=-

1

6

x²+

5

6

x-（

1

2

x-

5

2

）=-

1

6

x²+

1

3

x+

5

2

，
∴△PAB的面积：S=S_△PAM+S_△PBM
=

1

2

PM•（5-

5

2

）+

1

2

PM•（

5

2

+3）
=

1

2

×（-

1

6

x²+

1

3

x+

5

2

）×（5+3）
=-

2

3

x²+

4

3

x+10
=-

2

3

（x-1）²+

32

3

，
所以当x=1，即P（1，

2

3

）时，△PAB的面积最大，且最大值为

32

3

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、最短路径问题、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点，能够将图形面积问题转换为二次函数的最值问题是解决（3）题的关键．