题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= 
S四边形ACBD时，求D点坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．
【答案】
（1）
解：∵令x=0得：y=﹣3，
∴C（0，﹣3）．
令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3，
∴A（﹣3，0）．
将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的： 
，解得： 
．
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3
（2）
解：如图1所示：
令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．
∴AB=4．
∵S△ACD= 
S四边形ACBD，
∴S△ADC：S△DCB=3：5．
∴AE：EB=3：5．
∴AE=4× = 
．
∴点E的坐标为（﹣ ，0）．
设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得： 
，
解得：k=﹣2，b=﹣3．
∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．
将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），
将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5．
∴点D的坐标为（﹣4，5）
（3）
解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得： 
，
解得：k=3，b=﹣3．
∴直线BC的解析式为y=3x﹣3．
设直线DE的解析式为y=﹣ 
x+n，将点D的坐标代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣ 
= 
．
∴直线DE的解析式为y=﹣ x+ ．
将y=3x﹣3与y=﹣ x+ 联立解得：x=2，y=3．
∴点E坐标为（2，3）．
依据两点间的距离公式可知：BC=CE= 
．
∵点P与点Q关于点B对称，
∴PB=BQ．
在△PCB和△QEB中 
，
∴△PCB≌△QEB．
∴∠BPC=∠Q．
又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG
∴∠DBE=∠DGB．
又∵∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．
∵D（﹣4，5），B（1，0），
∴DM=NB．
∴∠DBN=45°．
∴∠PBM=45°．
∴PM=MB
设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．
∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）．
∴点P的坐标为（﹣2，3）．
∴PC∥x轴．
∵∠Q=∠BPC，
∴EQ∥PC．
∴点E与点F的纵坐标相同．
将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣ 
或x=﹣1+ （舍去）．
∴点F的坐标为（﹣1 
，3）．
∴EF=2﹣（﹣1﹣ ）=3+
【解析】（1）先求得A、C两点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）先求得AB的长，然后依据S△ACD= S四边形ACBD ， 求得AE的长，可得到E的坐标为（﹣ ，0），利用待定系数法可求得CE的解析式，然后CE的解析式与抛物线的解析式联立可求得点D的坐标；（3）过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．先求得BC和DE的解析式，从而可求得点E的坐标，然后可证明BC=BE，然后可证明△PCB≌△QEB，得到∠BPC=∠Q，依据题意可得到∠DBE=∠DGB．接下来，在证明∠PBD=90°，∠DBN=45°，然后可求得∠PBM=45°，设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3然后依据PM=MB可求得a的值，则可得到点P的坐标，然后可证明EF∥x轴，最后将点F的纵坐标代入抛物线的解析式可求得点F的横坐标，最后依据EF=xE﹣xF求解即可．
