题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点).有下列结论:
①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣ ;④ ≤n≤4.
其中正确的是( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.①③④
【答案】D
【解析】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),
∴根据图示知,当x>3时,y<0.
故①正确;②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.
∵对称轴x= =1,
∴b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.
故②错误;③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),
∴﹣1×3=﹣3,
=﹣3,则a= .
∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,
∴﹣1≤ ≤ ,即﹣1≤a≤ .
故③正确;④根据题意知,a= , =1,
∴b=﹣2a= ,
∴n=a+b+c= c.
∵2≤c≤3,
≤ ≤4, ≤n≤4.
故④正确.
综上所述,正确的说法有①③④.
所以答案是:D.
【考点精析】通过灵活运用二次函数图象以及系数a、b、c的关系,掌握二次函数y=ax2+bx+c中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上; a<0时,抛物线开口向下b与对称轴有关:对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)即可以解答此题.
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