Question

如图，已知：正△OAB的面积为4

3

，双曲线y=

k

x

经过点B，点P（m，n）（m＞0）在双曲线y=

k

x

上，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设矩形OCPD与正△OAB不重叠部分的面积为S．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求m=1和m=3时，S的值．

Answer 1

分析：（1）B点的坐标可通过分别向x轴，y轴作垂线得到，然后根据等边三角形的性质可知横坐标是

1

2

OA，纵坐标是三角形的高的长度．
（2）找到m=1和m=3时P的位置，用总面积-2×重叠部分的面积=不重叠部分的面积，根据次等连关系可求解．

解答：解：（1）设

1

2

OA=x，则三角形的高为

3

x，
∵正△OAB的面积为4

3

．
∴

1

2

2x•

3

x=4

3

x=2．
故B点的坐标是（2，2

3

）．
k=xy=2×2

3

=4

3

；

（2）∵m=1，y=

4 3

x

，
∴n=4

3

．
∵OM=1，
∴MN=

3

．
∴S=1×4

3

+4

3

-

1

2

×1×

3

×2=7

3

∵m=3，y=

4 3

x

，
∴n=

4 3

3

；
∴EG=

4 3

3

，
∴OG=

4

3

，
∴EF=4-

4

3

×2=

4

3

．
∴梯形EFAO的面积是：

1

2

（

4

3

+4）×

4 3

3

=

32 3

9

．
△QMA的面积为：

1

2

×

3

×1=

3

2

．
∴S=3×

4 3

3

+4

3

-2×

32 3

9

+2×

3

2

=

17 3

9

．

点评：本题考查反比例函数的综合运用，关键能通过点确定函数式，由函数式确定点，本题求不重叠部分的面积关键是把重叠部分求出来，问题可解．