题目内容
如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=-| 2 | 3 |
（1）求b，c的值及D点的坐标；
（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；
（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．
分析：（1）把点A，B代入抛物线y=-
x2+bx+c求得b、c即可，y=0，建立方程求得点D；
（2）四边形OEBF的面积不变，利用三角形全等证得结论即可；
（3）用m分别表示出两个三角形的面积，求差探讨得出答案即可．
| 2 |
| 3 |
（2）四边形OEBF的面积不变，利用三角形全等证得结论即可；
（3）用m分别表示出两个三角形的面积，求差探讨得出答案即可．
解答：解：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=-
x2+bx+c得
解得b=
，c=2；
∴y=-
x2+
x+2；
令-
x2+
x+2=0
解得x1=-1，x2=3
∴D点坐标为（3，0）．
（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．
（3）如图，
可以看出S△BEF=S梯形OCBF-S△OEF-S△BEC
=
（2+2+m）×2-
m（2+m）-
（2-m）×2
=-
m2+m+2
S△BED=
×（3-m）×2
=3-m
两个三角形的面积差最小为0，
即3-m=-
m2+m+，
解得m=2±
，
∵E是OC上的动点
∴m=2-
，
当m=2-
时S最小为0．
| 2 |
| 3 |
|
解得b=
| 4 |
| 3 |
∴y=-
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
令-
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解得x1=-1，x2=3
∴D点坐标为（3，0）．
（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．
（3）如图，
可以看出S△BEF=S梯形OCBF-S△OEF-S△BEC
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
S△BED=
| 1 |
| 2 |
=3-m
两个三角形的面积差最小为0，
即3-m=-
| 1 |
| 2 |
解得m=2±
| 2 |
∵E是OC上的动点
∴m=2-
| 2 |
当m=2-
| 2 |
点评：此题综合考查待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点．
练习册系列答案
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