Question

如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．
（1）当OA=

3

时，求点C的坐标．
（2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积．
（3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理可求OB=1，根据三角函数和等边三角形的性质可得∠CAO=90°，进一步得到点C的坐标；
（2）根据梯形的面积公式可求四边形AOBC的面积；
（3）取AB中点D．根据勾股定理可求CD=

3

，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求OD=1，再根据三角形三边关系可知当且仅当为O，D，C在一条线上时，线段OC的长有最大值，进一步求出此时点C的坐标．

解答：解：（1）∵在Rt△AOB中，AB=2，OA=

3

，
∴OB=1，
∴∠1=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠2=60°，
∴∠CAO=90°，
∴C（

3

，2）；
 
（2）S_{四边形AOBC}
=（2+1）×

3

÷2
=

3 3

2

；
 
（3）取AB中点D．
则CD=

3

OD=1（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）
OC≤OD+CD（三角形两边之和大于第三边）
当且仅当为O，D，C在一条线上时，
OC=OD+CD=

3

+1
此时△OAB为等腰直角三角形
C点坐标：（

3 +1

2

，

3 +1

2

），即（

6 + 2

2

，

6 + 2

2

]．

点评：此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．