Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）观察可得结果是分子均为1，分母分别为相邻2个数的分数的差；
（2）利用（1）得到的结果进行计算即可．

解答：解：（1）

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案为

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n+1-1

n+1

=

n

n+1

．

点评：考查分数的规律性计算；得到分子为1，分母为相邻2个数的分数的拆分方法是解决本题的关键．