Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

．

Answer 1

分析：（1）由已知的三等式，归纳总结即可得到结果；
（2）利用（1）总结的规律将所求式子拆项，抵消合并即可得到结果．

解答：解：（1）根据题中的一系列等式，可得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

-

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）

2006

2007

点评：此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．